分布函数表
柯西分布 - 不存在数学期望和方差 - 特征函数\(e^{i\mu t - \lambda|t|}\) \(\(p(x)=\frac{1}{\pi}\cdot \frac{\lambda}{\lambda^2+(x-\mu)^2},-\infty< x < \infty,\lambda>0，\mu常数\)\)
帕斯卡(Pascal)分布
在伯努利概型中，每次成功得概率为\(p\)，记知道第\(r\)次成功时的次数为\(\xi\).
\[P(\xi = k) = \left(\begin{array}{ll}
k-1 \\
r-1
\end{array}\right)p^{r}q^{k-r}\]
退化分布
\[P(\xi =c) = 1\]
两点分布\伯努利分布
\[\left[\begin{array}{ll}
x_1 & x_2 \\
p & q\\
\end{array}\right], \qquad p,q>0, p+q=1.\]
二项分布
\[P(k,n)=\frac{C^k_n}{2^n}, P(k,n)=C^k_np^kq^{n-k}\]
即伯努利概型中\(k\)次成功的概率
泊松定理
假定\(p\)与\(n\)有关，记作\(p_n\)。考虑\(n\to \infty\)的情况，有下面的定理： 如果存在正常数\(\lambda\)，当\(n\to \infty\)时，有\(np_n \to \lambda\)，则
\[\lim_{n\to\infty} b(k;n,p)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}，\qquad k=0,1,2,\cdots.\]
通常,\(p\)与\(n\)无关，但当\(n\)很大,\(p\)很小，而\(np\)不是非常大时，可以近似地取\(np=\lambda\)
几何分布
\[p(\xi = k)=pq^{k-1}\]
超几何分布
\[P(\xi = k ) = \frac{\left(\begin{array}{ll} M\\ k \end{array} \right)\left(\begin{array}{ll} N-M\\ n-k \end{array} \right)}{\left(\begin{array}{ll} N\\ n \end{array} \right)}\]
- n维正态分布 设\(B=(b_{ij})\)为\(n\)维正定对称矩阵，\(|B|\)为其行列式,\(B^{-1}\)为其逆，又设\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)',a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)',\)则称
\[p(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|B|^{1/2}}exp\{-\frac{1}{2}(x-a)'B^{-1}(x-a)\}\]
为\(n\)维正态密度函数，若此随机向量\(\xi\)具有此密度函数，则称\(\xi\)服从\(n\)维正态分布，记作\(\xi ~N(a,B).\)
- 性质5：设\(\xi = (\xi_1,\cdots,\xi_n)'~N(a,B),C=(c_{ij})_{m×n}\)为\(m×n\)矩阵，则
\[\eta=C\xi 服从m元正态分布N(Ca,CBC')\]
| 分布名称 | 概率分布或密度函数\(p(x)\) | 数学期望 | 方差 | 特征函数 |
|---|---|---|---|---|
| 退化分布\(\(D(x-c)\)\) | \(\(p_c =1\)\)\(\((c为常数)\)\) | \(\(c\)\) | \(\(0\)\) | \(\(e^{ict}\)\) |
| 伯努利分布 (两点分布) |
\(\(p_k=\left\{\begin{array}{ll} q, && k=0 \\ p, && k=1, \end{array}\right.\)\)\(\(0<p<1, q=1-p\)\) | \(\(p\)\) | \(\(pq\)\) | \(\(pe^{it}+q\)\) |
| 二项分布 \(\(B(n,p)\)\) |
\(\(b(k;n,p)=\left(\begin{array}{ll} n \\ k \end{array}\right)p^kq^{n-k},\)\) \(\(k=0,1,\cdots,n,\)\)\(\(0<p<1,\)\)\(\(q=1-p\)\) |
\(\(np\)\) | \(\(npq\)\) | \(\((pe^{it}+q)^n\)\) |
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